a/ Xét tgAOE và tg COF có

^AOE = ^ COF (góc đối đỉnh) (1)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) (2)

OD=OB mà OE=OD/2 và OF=OB/2 => OE=OF (3)

Từ (1) (2) (3) => tg AOE = tg COF => ^EAO = ^FCO => AE//CF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 cát tuyến có hai góc so le trong bằng nhau thì // với nhau)

b/

Xét tg DEK và tg DFC có

^FDC chung

^DEK = ^DFC (góc đồng vị)

=> tg DEK đồng dạng với tg DFC \(\Rightarrow\frac{DE}{DF}=\frac{DK}{DC}\)

Mà DE=OE=OF \(\Rightarrow\frac{DE}{DF}=\frac{DK}{DC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{DK}{KC}=\frac{1}{2}\Rightarrow DK=\frac{KC}{2}\)

(tự vẽ hình nhé)

a) OD = OB (gt) mà ED = EO = OD/2 ; FO = FB = OB/2 

=> ED = EO = FO = FB 

Ta có: OA = OC (gt) và   OE = OF (cmt)  => tứ giác AECF là hbh  => AE // CF

b) Kẻ OS // AK (S thuộc DC) 

Tg DOS: EO = ED (cmt) ; OS // EK (do OS //AK)  => KD = KS.   (1)

Hình thang EKCF: OE = OF (cmt) ; OS // EK (cmt) => KS = SC    (2) 

Từ (1) và (2) => KD = KS = SC  (*)

Mặt khác: KS + SC = KC => 2 * KS = KC  (**)

Từ (*) và (**) => đpcm 

 O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD(gt) 
=> AO=OC, OD=OB (vì ABCD là hình bình hành) 
Lại có;

E là trung điểm của OD(gt)

=> OE=1/2.OD 
F là trung điểm của OB(gt)

=> OF=1/2.OB 
Mà OD=OB (cmt) 
=> OE=OF 
Tứ giác AFCE có: OA=OC(cmt) và OE=OF(cmt) 
=> O là giao điểm của hai đường chéo AC,EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn 
=> AFCE là hình bình hành 
=> AE//CF (vì AE, CF là hai cạnh đối nhau) 
Có AE//CF (cmt) 
=> EK// CF (vì K thuộc AE) 
Từ O vẽ đường thẳng cắt CD tại H sao cho OH//EK//CF 
Xét tam giác DOH có: E là trung điểm của OD 
EK//OH (theo cách vẽ đường thẳng OH) 
=> K là trung điểm của DH 
=> DK=KH (1) 
Xét hình thang EKCF có: O là trung điểm của EF (theo câu a) 
OH//EK//CF (theo cách vẽ đường thẳng OH) 
=> H là trung điểm của KC 
=> KH=HC (2) 
Từ (1) và (2) => DK=KH=HC 
Lại có: KC=KH+HC => KC= DK+DK (vì DK=KH=HC) 
=> KC=2DK => DK=1/2KC

hì, bài này dài ghê á :3

ko biet

a. Có O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD(gt) 
=> AO=OC, OD=OB (vì ABCD là hình bình hành) 
Lại có E là trung điểm của OD(gt) => OE=1/2.OD 
F là trung điểm của OB(gt) => OF=1/2.OB 
Mà OD=OB (cmt) 
=> OE=OF 
Tứ giác AFCE có: OA=OC(cmt) và OE=OF(cmt) 
=> O là giao điểm của hai đường chéo AC,EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn 
=> AFCE là hình bình hành 
=> AE//CF (vì AE, CF là hai cạnh đối nhau) 
b. Có AE//CF (theo câu a) 
=> EK// CF (vì K thuộc AE) 
Từ O vẽ đường thẳng cắt CD tại H sao cho OH//EK//CF 
Xét tam giác DOH có: E là trung điểm của OD 
EK//OH (theo cách vẽ đường thẳng OH) 
=> K là trung điểm của DH 
=> DK=KH (1) 
Xét hình thang EKCF có: O là trung điểm của EF (theo câu a) 
OH//EK//CF (theo cách vẽ đường thẳng OH) 
=> H là trung điểm của KC 
=> KH=HC (2) 
Từ (1) và (2) => DK=KH=HC 
Lại có: KC=KH+HC => KC= DK+DK (vì DK=KH=HC) 
=> KC=2DK => DK=1/2KC

a. Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

\(OE=\frac{1}{2}OD\left(GT\right)\)

\(OF=\frac{1}{2}OB\left(GT\right)\)

Suy ra: OE = OF

Xét tứ giác AECF, ta có:

OE = OF (chứng minh trên)

OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE // CF

b. Kẻ OM // AK

Trong ∆ CAK ta có:

OA = OC ( chứng minh trên)

OM // AK ( theo cách vẽ)

⇒ CM // MK (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ∆ DMO ta có:

DE = EO (gt)

EK // OM

⇒ DK // KM (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK =\(\frac{1}{2}KC\)

1: Xét tứ giác AECF có 

O là trung điểm của AC
O là trung điểm của FE

Do đó: AECF là hình bình hành